\documentclass{beamer}

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\usepackage{syntax}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{xcolor}
\newcommand{\Hquad}{\hspace{0.2em}}
\newcommand{\red}[1]{\textbf{\color{red}#1}}

\lstset{
 language=caml,
 columns=[c]fixed,
 basicstyle=\small\ttfamily,
 keywordstyle=\bfseries,
 upquote=true,
 commentstyle=,
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 }

\title{Présentation Projet Fonctionnel}
\author{Marwan AZIZI et Augustin LUCAS}
\institute{}
\date{}

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% 1. grammaire du lcalcul simmplement typé


% on a fait pieuvre, assistant de preuve pour la logique intuitionniste documentclass
%

% fonctionne grâce à Curry-Howard -> insister sur l'utilisation des refs
% montrer l'exmple du apply généralisé
% fiabilité

\begin{document}

\maketitle

\begin{frame}{Introduction}
  % On a fait pieuvre, assistant de preuve pour la logique intuitionniste
  Pieuvre, un assistant de preuve pour la logique intuitionniste
  \pause
  \vspace{0.2in}

  Prouvable
  $$A \rightarrow B \rightarrow (A \wedge B)$$
  Pas prouvable
  $$\neg \neg A \rightarrow A$$

\end{frame}

\begin{frame}{Comment ça marche}
  Par la correspondance de Curry-Howard
  \vspace{0.2in}

  Preuve $\Leftrightarrow$ programme du $\lambda$-calcul simplement typé
\end{frame}

\begin{frame}{$lambda$-calcul}
  les types sont donnés par

  \lstinline{<A, B> ::= X}

	\lstinline{| A -> B}

	\lstinline{| A /\\ B}

	\lstinline{| A \\/ B}

	\lstinline{| false}

  On peut avoir les $\lambda$-termes suivants:

  \lstinline{fun (x:A) => x}

  \lstinline{fun (x:A) => exf(x:B)}
\end{frame}

%! liste des tactiques
\begin{frame}{Tactiques}
  Commandes:

  \lstinline{Goal}

  \lstinline{Undo}

  \lstinline{Qed}

  Tactiques:

  \lstinline{exact}

  \lstinline{assumption}

  \lstinline{destruct}

  \lstinline{intros}

  \lstinline{intro}

  \lstinline{cut}

  \lstinline{apply}

  \lstinline{left}

  \lstinline{right}

  \lstinline{split}
\end{frame}

\begin{frame}{Exemple}
  Prouvons $(A \rightarrow B \rightarrow C) \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C$
\end{frame}

\begin{frame}
  % présenter les buts, les trous
  \frametitle{Prouvons $(A \rightarrow B \rightarrow C) \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C$}

  Preuve: %rajouter les types
  \only<1>{$$\red{?}$$}
  \only<2>{$$fun \Hquad (x_0:(A \rightarrow (B \rightarrow C))) \Rightarrow fun \Hquad (x_1:A) \Rightarrow fun \Hquad (x_2:B) \Rightarrow \red{?}$$}
  \only<3>{$$fun \Hquad (x_0:(A \rightarrow (B \rightarrow C))) \Rightarrow fun \Hquad (x_1:A) \Rightarrow fun \Hquad (x_2:B) \Rightarrow (x_0 \Hquad \red{?} \Hquad ?)$$}
  \only<4>{$$fun \Hquad (x_0:(A \rightarrow (B \rightarrow C))) \Rightarrow fun \Hquad (x_1:A) \Rightarrow fun \Hquad (x_2:B) \Rightarrow (x_0 \Hquad x_1 \Hquad \red{?})$$}
  \only<5-6>{$$fun \Hquad (x_0:(A \rightarrow (B \rightarrow C))) \Rightarrow fun \Hquad (x_1:A) \Rightarrow fun \Hquad (x_2:B) \Rightarrow (x_0 \Hquad x_1 \Hquad x_2)$$}

  Interface:

  \onslide<2-5>\lstinline{H2 : B}

  \onslide<2-5>\lstinline{H1 : A}

  \onslide<2-5>\lstinline{H0 : A -> B -> C}

  \onslide<1>\lstinline{(A -> B -> C) -> A -> B -> C}
  
  \onslide<2>\lstinline{C}

  \onslide<4>\lstinline{B}

  \onslide<3>\lstinline{A}

  \onslide<5>\lstinline{No more goals.}

  \onslide<1->\lstinline{===========================}
  
  \onslide<1->\lstinline{Goal (A -> B -> C) -> A -> B -> C.}

  \onslide<2->\lstinline{intros.}

  \onslide<3->\lstinline{apply H0.}

  \onslide<4->\lstinline{exact H1.}

  \onslide<5->\lstinline{exact H2.}
  
  \onslide<6->\lstinline{Qed.}
\end{frame}


\begin{frame}{Fiabilité}
  \begin{itemize}
    \item Comment être sûrs de nos preuves
    \pause
    \item Envoyer nos termes de preuves à \textbf{\color{blue}{Coq}}.
  \end{itemize}
\end{frame}

\end{document}