Initial commit

dm1.md

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+author: Augustin LUCAS
+title: DM 1
+geometry: margin=2.6cm
+header-includes: |
+  \usepackage{tikz-cd}
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+# Exercice 1
+
+1. Soit $G$ un graphe non orienté.  
+      a. Supposons que $G$ admette un cycle eulérien.
+         Notons $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ la liste des sommets de ce cycle.
+
+         Soit $a$ un sommet de $G$.
+         - si $a$ n'est pas dans $a_1, \dots, a_n$, alors aucune arête n'a d'extrémité en $a$,
+           $a$ est isolé donc de degré 0 (pair).
+         - sinon, à chaque indice $i$ tel que $a_i = a$, on trouve deux arêtes distinctes
+           ayant une extrémité en $a$: $(a_i, a_{i+1})$ et $(a_{i-1}, a_i)$.  
+           (modulo les cas particuliers $i \in \{1, n\}$)  
+           Alors, $a$ est de degré pair car chaque arête utilisée dans le cycle est distincte des autres.
+
+         Soient deux sommets $a, b$ de $G$ non isolés, alors soient $i, j$ tels que $a = a_i$, $b = a_j$,
+         quitte à renommer $a$ et $b$, on suppose $i \leq j$.
+         Alors $a_i, a_{i+1}, \dots, a_j$ est un chemin de $a$ à $b$.
+         Donc - à l'exception des sommets isolés - $G$ est connexe.
+
+      b.    Si $G = (S, A)$ est connexe, avec tous ses sommets de degré pair,
+            On peut construire un cycle eulérien $C$ pour $G$ de la manière suivante :
+
+            ```
+            C = []
+            A' = A
+            c_i = prendre un sommet de G
+            c = c_i
+            Tant que A' n'est pas vide:
+                #i = nombre d'arêtes ayant une extrémité en i dans A'
+                si #i == 1 et #A > 1:
+                    (c, c2) = a dans A' partant de c, c2 != c_i
+                sinon:
+                    (c, c2) = a dans A' partant de c
+                retirer (c, c2) de A'
+                ajouter c2 à C
+                c = c2
+            ```
+
+2. Soit $G$ un graphe non orienté.
+    a.   Supposons que $G$ admette un chemin eulérien.
+         Notons $C = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ la liste des sommets de ce chemin.
+
+         Si $a_1 = a_n$, on a le résultat d'après la question 1)
+
+         Sinon, on note $G'$ le graphe $G$ où les sommets $a_1$ et $a_n$ sont confondus.
+         Dans $G'$, $C$ est un cycle eulérien, donc d'après la question 1),
+         $G'$ est connexe et tous ses sommets sont de degré pair.
+
+         Or, $C$ est un chemin de $a_1$ à $a_n$ dans $G$, donc $G$ est connexe.  
+         De plus, le degré de $a_1$ et $a_n$ est assez naturellement impair car chacune
+         a $2\times \# \{a_i \in C\}-1$ arêtes
+
+    b.  - Si $G = (S, A)$ est connexe avec 0 sommets de degré impair, d'après la question 1),
+            $G$ admet un cycle eulérien, qui est aussi un chemin eulérien
+        - Sinon, si $G = (S, A)$ est connexe avec 2 sommets de degré impair,
+            On peut construire un chemin eulérien de la manière suivante :
+
+            ```
+            C = []
+            A' = A
+            c, c_i = 2 sommets de A de degré impair
+            Tant que A' n'est pas vide:
+                #i = nombre d'arêtes ayant une extrémité en i dans A'
+                si #i == 1 et #A > 1:
+                    (c, c2) = a dans A' partant de c, c2 != c_i
+                sinon:
+                    (c, c2) = a dans A' partant de c
+                retirer (c, c2) de A'
+                ajouter c2 à C
+                c = c2
+            ```
+
+3.  Soit $G = (S, A)$ un graphe orienté.
+    Supposons pour la rédaction que $G$ n'ait pas de sommets isolés.
+    a.   Supposons que $G$ admette un cycle eulérien
+         Notons $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ la liste des sommets de ce cycle.
+         
+         Soit $a$ un sommet de $G$.
+         À chaque indice $i$ tel que $a_i = a$, on trouve deux arêtes distinctes
+         ayant une extrémité en $a$: $(a_i, a_{i+1})$ et $(a_{i-1}, a_i)$,
+         l'une entrante, l'autre sortante.  
+         (modulo les cas particuliers $i \in \{1, n\}$ où les indices diffèrent)  
+         Alors, $a$ possède autant d'arêtes entrantes que sortantes, c'est-à-dire $d^+(a) = d^-(a)$
+
+         De plus, soient $a, b$ des sommets de $G$. On a $i, j$ tels que $a = a_i, b = a_j$.
+         - Si $i \leq j$, $a_i, a_{i+1}, \dots, a_j$ est un chemin de $a$ à $b$.
+         - Sinon, $a_j, a_{j+1}, \dots, a_n, a_1, \dots, a_i$ est un chemin de $a$ à $b$.
+
+         Alors, $G$ est fortement connexe et $\forall x \in S, d^+(x)=d^-(x)$
+
+    b.  Supposons $G$ fortement connexe avec $\forall x \in S, d^+(x)=d^-(x)$
+        On peut construire un cycle eulérien $C$ pour $G$ de la manière suivante :
+
+        ```
+        C = []
+        A' = A
+        c_i = prendre un sommet de G
+        c = c_i
+        Tant que A' n'est pas vide:
+            #i = nombre d'arêtes ayant une extrémité en i dans A'
+            si #i == 1 et #A > 1:
+                (c, c2) = a dans A' partant de c, c2 != c_i
+            sinon:
+                (c, c2) = a dans A' partant de c
+            retirer (c, c2) de A'
+            ajouter c2 à C
+            c = c2
+        ```
+
+4. Le graphe représentant les différentes parties de cette ville,
+  dont les arêtes sont les ponts, a pour degrés de ses sommets les valeurs $3, 3, 3, 5$.
+  Donc ses $4$ sommets sont de degré impair, ainsi, il n'existe pas de telle balade à Königsberg
+  (d'après 2).
+
+5.  Algorithme
+
+    ```
+    Entrée:
+        G sous forme de listes d'adjacence
+    C = []
+    G' = copie de G
+    c_fin = 0
+    Tant que G'[c_i] == []:
+        c_fin += 1 # c_i ne doit pas être isolé
+    c = c_fin
+    Tant que G'[c] != []:
+        j = 0
+        c_suiv = c_fin
+        Tant que c_suiv == c_fin et j < #(G'[c])
+            j += i
+            c_suiv = G'[c][j]
+
+        retirer c_suiv de G'[c]
+        retirer c de G'[c_suiv]
+        ajouter c_suiv
+        c = c_suiv
+
+    Pour i allant de 0 à #G':
+        Si G'[j] != []:
+            échouer "Pas de cycle eulérien possible"
+    renvoyer C
+    ```
+
+    Dans le pire cas, le sommet avec le plus grand nombre d'arêtes est celui choisi comme $c_{fin}$,
+    si on y retourne un coup sur deux, on pourrait notamment avoir une complexité en $O(|S|^2)$.
+    Pour parer à celà, on pourrait se souvenir du nombre d'arêtes qui lui sont adjacentes non visitées
+    et ne l'ignorer que s'il en reste qu'une seule. Si on écarte ce cas extrême,
+    la boucle `Tant que` sera utilisée $|A|$ fois et l'algorithme sera au total en $O(|S|+|A|)$
+
+# Exercice 2
+
+1.  Soit un mot sur $\Sigma$ de longueur $L$.
+    Alors, il contient au plus $L-(p-1)$ sous-mots distincts de longueur $p$.  
+    Donc $L(n, p) \geq n^p + p-1$ car il existe $n^p$ mots de longueur $p$ sur
+    l'alphabet $\Sigma$.
+
+2. On considère le graphe orienté $G$ dont les sommets sont les mots de $\Sigma^{p-1}$.
+   L'arête $(a, b)$ pour $a = a_1, \dots a_{p-1}$ et $b = b_1, \dots b_{p-1}$
+   étant dans le graphe si $a_2 = b_1, a_3 = b_2 \dots a_{p-1} = a_{p-2}$.
+
+   Chaque mot de $\Sigma^p$ est représenté par une arête de $G$.
+
+   Alors, trouver un mot contenant tous les codes possibles correspond à
+   trouver un chemin passant par toutes les arêtes au moins une fois.  
+   Le cas optimal étant donc de trouver un chemin eulérien.
+
+    On vérifie bien que le graphe est fortement connexe, et que pour tout
+    sommet $x, d^+(x) = d^-(x) = n$.
+
+    Donc $G$ admet un chemin eulérien d'après Ex1.3
+
+    La séquence formée par ce chemin est constituée de :
+    - un mot initial de taille $p-1$ correspondant au premier sommet du chemin
+    - la lettre ajoutée pour passer d'un mot à un autre pour chaque arête ($n^p$ fois)
+
+    Alors, la séquence formée est de taille $n^p + p -1$.
+
+Finalement, $L(n, p) = n^p + p-1$