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author: Augustin LUCAS
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title: DM 1
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geometry: margin=2.6cm
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header-includes: |
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\usepackage{tikz-cd}
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# Exercice 1
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1. Soit $G$ un graphe non orienté.
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a. Supposons que $G$ admette un cycle eulérien.
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Notons $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ la liste des sommets de ce cycle.
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Soit $a$ un sommet de $G$.
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- si $a$ n'est pas dans $a_1, \dots, a_n$, alors aucune arête n'a d'extrémité en $a$,
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$a$ est isolé donc de degré 0 (pair).
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- sinon, à chaque indice $i$ tel que $a_i = a$, on trouve deux arêtes distinctes
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ayant une extrémité en $a$: $(a_i, a_{i+1})$ et $(a_{i-1}, a_i)$.
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(modulo les cas particuliers $i \in \{1, n\}$)
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Alors, $a$ est de degré pair car chaque arête utilisée dans le cycle est distincte des autres.
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Soient deux sommets $a, b$ de $G$ non isolés, alors soient $i, j$ tels que $a = a_i$, $b = a_j$,
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quitte à renommer $a$ et $b$, on suppose $i \leq j$.
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Alors $a_i, a_{i+1}, \dots, a_j$ est un chemin de $a$ à $b$.
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Donc - à l'exception des sommets isolés - $G$ est connexe.
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b. Si $G = (S, A)$ est connexe, avec tous ses sommets de degré pair,
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On peut construire un cycle eulérien $C$ pour $G$ de la manière suivante :
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```
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C = []
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A' = A
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c_i = prendre un sommet de G
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c = c_i
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Tant que A' n'est pas vide:
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#i = nombre d'arêtes ayant une extrémité en i dans A'
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si #i == 1 et #A > 1:
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(c, c2) = a dans A' partant de c, c2 != c_i
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sinon:
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(c, c2) = a dans A' partant de c
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retirer (c, c2) de A'
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ajouter c2 à C
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c = c2
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```
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2. Soit $G$ un graphe non orienté.
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a. Supposons que $G$ admette un chemin eulérien.
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Notons $C = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ la liste des sommets de ce chemin.
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Si $a_1 = a_n$, on a le résultat d'après la question 1)
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Sinon, on note $G'$ le graphe $G$ où les sommets $a_1$ et $a_n$ sont confondus.
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Dans $G'$, $C$ est un cycle eulérien, donc d'après la question 1),
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$G'$ est connexe et tous ses sommets sont de degré pair.
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Or, $C$ est un chemin de $a_1$ à $a_n$ dans $G$, donc $G$ est connexe.
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De plus, le degré de $a_1$ et $a_n$ est assez naturellement impair car chacune
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a $2\times \# \{a_i \in C\}-1$ arêtes
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b. - Si $G = (S, A)$ est connexe avec 0 sommets de degré impair, d'après la question 1),
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$G$ admet un cycle eulérien, qui est aussi un chemin eulérien
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- Sinon, si $G = (S, A)$ est connexe avec 2 sommets de degré impair,
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On peut construire un chemin eulérien de la manière suivante :
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```
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C = []
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A' = A
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c, c_i = 2 sommets de A de degré impair
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Tant que A' n'est pas vide:
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#i = nombre d'arêtes ayant une extrémité en i dans A'
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si #i == 1 et #A > 1:
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(c, c2) = a dans A' partant de c, c2 != c_i
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sinon:
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(c, c2) = a dans A' partant de c
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retirer (c, c2) de A'
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ajouter c2 à C
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c = c2
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```
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3. Soit $G = (S, A)$ un graphe orienté.
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Supposons pour la rédaction que $G$ n'ait pas de sommets isolés.
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a. Supposons que $G$ admette un cycle eulérien
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Notons $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ la liste des sommets de ce cycle.
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Soit $a$ un sommet de $G$.
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À chaque indice $i$ tel que $a_i = a$, on trouve deux arêtes distinctes
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ayant une extrémité en $a$: $(a_i, a_{i+1})$ et $(a_{i-1}, a_i)$,
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l'une entrante, l'autre sortante.
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(modulo les cas particuliers $i \in \{1, n\}$ où les indices diffèrent)
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Alors, $a$ possède autant d'arêtes entrantes que sortantes, c'est-à-dire $d^+(a) = d^-(a)$
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De plus, soient $a, b$ des sommets de $G$. On a $i, j$ tels que $a = a_i, b = a_j$.
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- Si $i \leq j$, $a_i, a_{i+1}, \dots, a_j$ est un chemin de $a$ à $b$.
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- Sinon, $a_j, a_{j+1}, \dots, a_n, a_1, \dots, a_i$ est un chemin de $a$ à $b$.
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Alors, $G$ est fortement connexe et $\forall x \in S, d^+(x)=d^-(x)$
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b. Supposons $G$ fortement connexe avec $\forall x \in S, d^+(x)=d^-(x)$
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On peut construire un cycle eulérien $C$ pour $G$ de la manière suivante :
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```
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C = []
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A' = A
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c_i = prendre un sommet de G
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c = c_i
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Tant que A' n'est pas vide:
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#i = nombre d'arêtes ayant une extrémité en i dans A'
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si #i == 1 et #A > 1:
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(c, c2) = a dans A' partant de c, c2 != c_i
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sinon:
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(c, c2) = a dans A' partant de c
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retirer (c, c2) de A'
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ajouter c2 à C
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c = c2
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```
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4. Le graphe représentant les différentes parties de cette ville,
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dont les arêtes sont les ponts, a pour degrés de ses sommets les valeurs $3, 3, 3, 5$.
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Donc ses $4$ sommets sont de degré impair, ainsi, il n'existe pas de telle balade à Königsberg
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(d'après 2).
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5. Algorithme
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```
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Entrée:
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G sous forme de listes d'adjacence
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C = []
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G' = copie de G
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c_fin = 0
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Tant que G'[c_i] == []:
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c_fin += 1 # c_i ne doit pas être isolé
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c = c_fin
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Tant que G'[c] != []:
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j = 0
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c_suiv = c_fin
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Tant que c_suiv == c_fin et j < #(G'[c])
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j += i
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c_suiv = G'[c][j]
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retirer c_suiv de G'[c]
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retirer c de G'[c_suiv]
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ajouter c_suiv
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c = c_suiv
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Pour i allant de 0 à #G':
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Si G'[j] != []:
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échouer "Pas de cycle eulérien possible"
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renvoyer C
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```
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Dans le pire cas, le sommet avec le plus grand nombre d'arêtes est celui choisi comme $c_{fin}$,
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si on y retourne un coup sur deux, on pourrait notamment avoir une complexité en $O(|S|^2)$.
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Pour parer à celà, on pourrait se souvenir du nombre d'arêtes qui lui sont adjacentes non visitées
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et ne l'ignorer que s'il en reste qu'une seule. Si on écarte ce cas extrême,
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la boucle `Tant que` sera utilisée $|A|$ fois et l'algorithme sera au total en $O(|S|+|A|)$
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# Exercice 2
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1. Soit un mot sur $\Sigma$ de longueur $L$.
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Alors, il contient au plus $L-(p-1)$ sous-mots distincts de longueur $p$.
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Donc $L(n, p) \geq n^p + p-1$ car il existe $n^p$ mots de longueur $p$ sur
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l'alphabet $\Sigma$.
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2. On considère le graphe orienté $G$ dont les sommets sont les mots de $\Sigma^{p-1}$.
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L'arête $(a, b)$ pour $a = a_1, \dots a_{p-1}$ et $b = b_1, \dots b_{p-1}$
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étant dans le graphe si $a_2 = b_1, a_3 = b_2 \dots a_{p-1} = a_{p-2}$.
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Chaque mot de $\Sigma^p$ est représenté par une arête de $G$.
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Alors, trouver un mot contenant tous les codes possibles correspond à
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trouver un chemin passant par toutes les arêtes au moins une fois.
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Le cas optimal étant donc de trouver un chemin eulérien.
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On vérifie bien que le graphe est fortement connexe, et que pour tout
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sommet $x, d^+(x) = d^-(x) = n$.
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Donc $G$ admet un chemin eulérien d'après Ex1.3
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La séquence formée par ce chemin est constituée de :
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- un mot initial de taille $p-1$ correspondant au premier sommet du chemin
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- la lettre ajoutée pour passer d'un mot à un autre pour chaque arête ($n^p$ fois)
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Alors, la séquence formée est de taille $n^p + p -1$.
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Finalement, $L(n, p) = n^p + p-1$
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