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\documentclass{exam}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[french]{babel}
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\usepackage[]{amsthm} %lets us use \begin{proof}
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\usepackage{amsmath,amsfonts}
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\usepackage[]{amssymb} %gives us the character \varnothing
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage[langfont=caps]{complexity}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{setspace}
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\usepackage{stmaryrd} % For llbracket && rrbracket
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\setstretch{1.5}
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\title{Algo1 - Devoir Maison}
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\author{Augustin LUCAS}
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\date\today
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%This information doesn't actually show up on your document unless you use the maketitle command below
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\begin{document}
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\maketitle %This command prints the title based on information entered above
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%Section and subsection automatically number unless you put the asterisk next to them.
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\section*{Exercice 1}
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\begin{questions}
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\question On considère l'algorithme glouton suivant:
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\begin{verbatim}
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Glouton(G=(V, E)):
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V' = V
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IS = {}
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Tant que V' n'est pas vide
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Soit v dans V'
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IS = IS u {v}
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V' = V'\{v et tous ses voisins}
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Renvoyer IS
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\end{verbatim}
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Alors, à chaque élément ajouté, on enlève au plus $d$ éléments.
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Donc $IS \geq \frac{\lvert V \rvert}{d+1}$ où $d$ est le degré maximum dans le graphe $G$.
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Alors, $IS \geq \frac{\lvert V \rvert}{d+1} \geq \frac{OPT}{d+1}$, donc est une $d+1$ approximation pour MIS.
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\question On considère l'algorithme glouton suivant:
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\begin{verbatim}
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Glouton(G=(V, E)):
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V' = V
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IS = {}
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Tant que V' n'est pas vide
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Soit v l'élément de plus petit degré de V'
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IS = IS u {v}
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V' = V'\{v et tous ses voisins}
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Renvoyer IS
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\end{verbatim}
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Alors, à chaque élément ajouté, on enlève au plus $d$ éléments car $G$ est $d$-dégénéré, et le sommet
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considéré est de degré minimal.
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Donc $IS \geq \frac{\lvert V \rvert}{d+1}$ où $d$ est le degré maximum dans le graphe $G$.
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Alors, $IS \geq \frac{\lvert V \rvert}{d+1} \geq \frac{OPT}{d+1}$, donc est une $d+1$ approximation pour MIS.
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\question On raisonne par induction sur $n$, le nombre de sommets du graphe.
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Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $H_n$: "Tout graphe $G=(V, E)$ tel que $\vert V \rvert = n$ est $\Delta(G)+1$-colorable".
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\paragraph{}
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Initialisation $(n=1)$:
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\\Soit $G$ le graphe à $1$ sommet. Alors, $\Delta(G) = 0$, et on vérifie bien que $G$ est $1$-colorable.
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On a donc $H_1$ vérifiée.
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\paragraph{}
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Hérédité: Supposons qu'il existe $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $H_n$ soit vérifié. Montrons $H_{n+1}$.
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\\Soit $G=(V, E)$ un graphe à $n+1$ sommets. Soit $v \in V$, de degré quelconque.
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\\Par hypothèse d'induction, $G' = (V\backslash\{v\}, E\backslash\{vx, x \in V\})$ admet
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une $\Delta(G')+1$-coloration, on la note $c$, $c \subset V \times \llbracket 0; \Delta(G') \rrbracket$.
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Comme $\Delta(G') \leq \Delta(G)$, c'est (dans le pire cas) une $\Delta(G)+1$-coloration pour $G'$.
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\\On considère à nouveau $v$, comme il a au plus $\Delta(G)$ voisins, on peut choisir $n \in \llbracket 0; \Delta(G) \rrbracket$
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tel que $c \cup \{(v, n)\}$ soit une $\Delta(G)+1$-coloration valide pour $G$.
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Alors, par principe d'induction, tout graphe $G$ est $\Delta(G)+1$-colorable.
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\question On raisonne par induction sur $n$, le nombre de sommets du graphe.
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Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $H_n$: "Tout graphe $G=(V, E)$ $d$-dégénéré tel que $\vert V \rvert = n$ est $d+1$-colorable".
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\paragraph{}
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Initialisation $(n=1)$:
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\\Soit $G$ le graphe à $1$ sommet. Alors, il est $0$-dégénéré et $1$-colorable.
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|
On a donc $H_1$ vérifiée.
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\paragraph{}
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Hérédité: Supposons qu'il existe $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $H_n$ soit vérifié. Montrons $H_{n+1}$.
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\\Soit $G=(V, E)$ un graphe $d$-dégénéré pour un certain $d \in \mathbb{N}$, tel que $\lvert V \rvert = n+1$.
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Soit $v \in V$, de degré $d$. Un tel $v$ existe car $G$ est $d$-dégénéré.
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\\On pose $G' = (V\backslash\{v\}, E\backslash\{vx, x \in V\})$. $G'$ est $d$-dégénéré car est un sous graphe de $G$. Il admet donc
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une $d+1$-coloration par hypothèse d'induction, on la note $c$, $c \subset V \times \llbracket 0; d \rrbracket$.
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\\On considère à nouveau $v$. Comme il a exactement $d$ voisins, on peut choisir $n \in \llbracket 0; d \rrbracket$
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tel que $c \cup \{(v, n)\}$ soit une $d+1$-coloration valide pour $G$.
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Alors, par principe d'induction, tout graphe $G$ $d$-dégénéré est $d+1$-colorable.
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\end{questions}
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\section*{Exercice 2}
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\begin{questions}
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\question La méthode naïve consiste à demander $M(\{s\})$ pour tout $s \in V$
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jusqu'à trouver $s$ tel que $M(\{s\})$ renvoie "oui".
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\question (Pour un arbre binaire) On procède par diviser pour régner: pour traiter un noeud $a = N(r, g, d)$,
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On demande à l'oracle $M(\{r\})$, puis $M(\{g\})$, et en fonction du résultat,
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on effectue un appel récursif sur $g$, sur $d$, ou bien on renvoie $r$.
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En pseudocode, cela donne:
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\begin{verbatim}
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TrouverJeton:
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Entrée: a = N(r, g, d)
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Si M({r}) == "oui":
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Renvoyer r
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Si M(g) == "oui":
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Renvoyer TrouverJeton(g)
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Renvoyer TrouverJeton(d)
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\end{verbatim}
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À chaque appel de l'oracle, les ensembles interrogés induisent bien un sous-graphe de $T$.
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De plus, dans le pire cas, on aura fait $2 \log_2(\lvert V \rvert)$ appels à l'oracle, donc
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bien $\Theta(\log_2(\lvert V \rvert))$.
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\end{questions}
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\section*{Exercice 3}
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\begin{questions}
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\question On reprend les notations de l'énoncé, c'est à dire que l'on considère le triangle $T = u_0 u_1 u_2$,
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et que l'on rajoute deux sommets $v_1, v_2$ de sorte à
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remplacer l'arête $(u_0, u_1)$ par ($u_0, v_1), (v_1, v_2), (v_2, u_1)$
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\begin{parts}
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\part En remplaçant l'arête $(u_0, u_1)$, on a supprimé autant de
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triangles dans $G$ qu'il y a de voisins communs à $u_0$ et $u_1$.
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De plus, aucun nouveau triangle n'a pu être formé, donc on a bien
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réduit le nombre total de triangles de $G$.
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Notons alors $G'$ le graphe $G$ après cette modification. Montrons que $\alpha(G') = \alpha(G) +1$
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où $\alpha(G)$ est la taille du plus grand ensemble indépendant dans $G$.
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$\boxed{\geq}$ On considère $I$ un indépendant de $G$ tel que $\lvert I \rvert = \alpha(G)$.
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En particulier, on va s'intéresser à qui de $u_0$ et $u_1$ est dans $I$
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(il y en au plus une). Alors, on pose:
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\[
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I' =
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\left\{
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\begin{aligned}
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& I\cup\{v_1\} \text{ si } u_1 \in I \\
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& I\cup\{v_2\} \text{ sinon}
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\end{aligned}
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\right.
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\]
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On a bien $I'$ indépendant de $G'$, et $\lvert I' \rvert = \alpha(G) +1$.
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Donc $\alpha(G') \geq \alpha(G)+1$
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$\boxed{\leq}$ Supposons par l'absurde que $\alpha(G') > \alpha(G) +1$.
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\\ Soit alors $I'$ indépendant de $G'$, $\lvert I' \rvert = \alpha(G) +k$ ($k > 1$)
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On procède alors par disjonction de cas:
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\begin{itemize}
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\item si $u_0, u_1 \in I'$, alors $v_1, v_2 \notin I'$.
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Donc $I \backslash \{u_0\}$ est un indépendant de $G$,
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\\de taille $\alpha(G)+k-1 > \alpha(G)$. Absurde !
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\item si $u_0 \in I', u_1 \notin I'$, alors parmi, $v_1$ et $v_2$, au plus $v_2 \in I'$
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On a alors $I \backslash \{v_2\}$ indépendant de $G$,
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\\de taille $\geq \alpha(G)+k-1 > \alpha(G)$. Ce qui est également absurde.
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\item le cas $u_0 \notin I', u_1 \in I'$ est similaire au cas précédent.
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\item enfin, si $u_0, u_1 \notin I'$, on a au maximum $v_1$ ou $v_2$ dans $I'$, donc
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l'indépendant $I'\backslash\{v_1, v_2\}$ de $G$ donne à nouveau une absurdité.
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\end{itemize}
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Finalement, $\alpha(G') = \alpha(G)+1$
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\part Montrons que \textsc{IndependantSet} est NP-complet même si le graphe en entrée ne contient pas de triangle.
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Notons \textsc{IndependantSet$_\Delta$} ce nouveau problème.
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On a un certificat: un indépendant de taille au moins $k$.
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\\Montrons que\textsc{IndependantSet} $\leq_P$ \textsc{IndependantSet$_\Delta$}
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Soit $G=(V, E), k$ une instance du problème \textsc{IndependantSet}.
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Notons $\delta$ le nombre de fois que l'on doit appliquer la question 1a) pour obtenir un graphe $G'$
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par $G$.
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\\On a que $\alpha(G') = \alpha(G)+\delta$.
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Donc \textsc{IndependantSet}$(G', k+\delta) \Longleftrightarrow$ \textsc{IndependantSet}$(G, k)$.
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Or $G'$ est sans triangles donc \textsc{IndependantSet}$_\Delta(G', k+\delta) \Longleftrightarrow \textsc{IndependantSet}(G, k)$.
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Alors, comme \textsc{IndependantSet} est NP-complet, \textsc{IndependantSet}$_\Delta$ est NP-complet.
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\end{parts}
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\question Montrons que \textsc{$\alpha$-And-$\omega$} est NP-Complet.
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On a un certificat: une clique et un indépendant de taille au moins $k$.
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Il s'agit maintenant d'établir une réduction.
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Montrons que \textsc{Clique} $\leq_{P}$ $\alpha$-AND-$\omega$.
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\\Soit $G = (V, E), k \in \mathbb{N}$ une instance de \textsc{Clique}.
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On pose $G' = (V\cup\{x_i\}_{i \in \llbracket 1; k \rrbracket}, E)$.
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\\On a alors un indépendant de taille $k$ de $G'$ évident: $(x_i)_{i \in \llbracket 1; k \rrbracket}$.
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Donc \textsc{$\alpha$-And-$\omega$}$(G') \Longleftrightarrow$ \textsc{Clique}$(G)$
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Alors, comme \textsc{Clique} est NP-complet, on a que \textsc{$\alpha$-And-$\omega$} est NP-complet.
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\question Montrons que \textsc{$\alpha$-Or-$\omega$} est NP-Complet.
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On a un certificat: une clique ou un indépendant de taille au moins $k$.
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Il s'agit maintenant d'établir une réduction.
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Montrons que \textsc{IndependantSet} $\leq_{P}$ \textsc{$\alpha$-Or-$\omega$}.
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\\Soit $G = (V, E), k \in \mathbb{N}$ une instance de \textsc{IndependantSet}.
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On pose $G' = (V\cup\{x_i\}_{i \in \llbracket 1, \lvert E \rvert +1\rrbracket}, E)$.
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\\Alors, $G'$ ne peut pas contenir de clique de taille $k+\lvert E \rvert +1$, et contient
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un indépendant de taille au moins $k+\lvert E \rvert +1$ ssi $G$
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contient un indépendant de taille au moins $k$.
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\\Donc \textsc{$\alpha$-Or-$\omega$}$(G', k+\lvert E \rvert +1) \Longleftrightarrow$ \textsc{IndependantSet}$(G, k)$
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Alors, comme \textsc{IndependantSet} est NP-complet, \textsc{$\alpha$-Or-$\omega$} est NP-complet.
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\question $\star$
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\end{questions}
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\section*{Exercice 4}
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On note donc $P[i]$ le prix d'un sandwich de longueur $i$ cm,
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et $n$ la longueur d'une baguette entière.
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Alors, on pose $T[i]:$ "le prix maximum que l'on puisse tirer d'une baguette de $i$ cm".
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On initialise $T[0] = 0$, puis
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pour tout $i$, $T[i] = \underset{j \in [i]}{max}(T[i-j]+T[j])$
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On a donc l'algorithme suivant:
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\begin{verbatim}
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MeilleurPrix:
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Entrée: P tableau des prix de taille n
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T = Tableau de taille n
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T[0] := 0
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Pour i allant de i à n:
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T[i] = max(T[i-j]+T[j]), j allant de 1 à i
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Renvoyer T[n]
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\end{verbatim}
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Le maximum s'effectue en $\mathcal{O}(n)$ donc l'algorithme est au total en $\mathcal{O}(n^2)$
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\end{document}
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