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@@ -1,10 +1,13 @@
-# Explaination of the calculus of the backpropagation for the different layers
+# Explication des calculs de la backpropagation des différentes couches
 
-## Backpropagation of the softmax
+## Backpropagation de la dernière couche avec softmax
 
 <img src="last_layer.png" width="200">
 
-Valeur des variables:  
+La couche ($o_1$, $o_2$, $o_3$) contient les valeurs que le réseau devrait donner idéalement.  
+La couche ($l_1$, $l_2$, $l_3$) contient les valeurs que le réseau donne réellement.  
+Soit f la fonction d'activation de la première couche (qui transforme les $a_i$ en $l_i$).  
+Relations entre les différents variables:
 - $l_1 = \dfrac{e^{a_1}}{e^{a_1}+e^{a_2}+e^{a_3}}$  
 $l_2 = \dfrac{e^{a_2}}{e^{a_1}+e^{a_2}+e^{a_3}}$  
 $l_3 = \dfrac{e^{a_3}}{e^{a_1}+e^{a_2}+e^{a_3}}$  
@@ -26,11 +29,11 @@ $\dfrac{\partial E}{\partial b_i} = \dfrac{\partial E}{\partial a_i}$
 
 <img src="fully_connected.png" width="200">
 
-Soit f la fonction d'activation de la première couche et g la fonction d'activation de la deuxième couche.
+Soit f la fonction d'activation de la première couche (qui transforme les $a_i$ en $l_i$) et g la fonction d'activation de la deuxième couche (qui transforme les $c_i$ en $d_i$).
 - $d_1 =g(c_1)$  
 $d_2 = g(c2)$  
 $c_1 = w_{11}l_1 + w_{21}l_2 + w_{31}l_3 + b'_1$  
-$c_2 = w_{12}l_1 + w_{22}l_2 + w_{32}l_3 + b'_2$  
+$c_2 = w_{12}l_1 + w_{22}l_2 + w_{32}l_3 + b'_2$ 
 $l_1 = f(a_1)$  
 $l_2 = f(a_2)$  
 $l_3 = f(a_3)$  
@@ -39,19 +42,37 @@ $\dfrac{\partial c_2}{\partial l_1} = w_{12}$
 $\dfrac{\partial c_1}{\partial l_1} = w_{11}$  
 $\dfrac{\partial l_1}{\partial a_1} = f'(a_1)$  
 
-> Derivatives:  
+> Dérivées:  
 $\dfrac{\partial E}{\partial b_j} = \dfrac{\partial E}{\partial l_i} $  
 $\dfrac{\partial E}{\partial w_{ij}} = \dfrac{\partial E}{\partial c_j}l_i$  
 $\dfrac{\partial E}{\partial a_i} = \dfrac{\partial E_{c_1}}{\partial c_1} w_{i1} + \dfrac{\partial E_{c_2}}{\partial c_2} w_{i2}$  
 ---
 ---
 
-## Backpropagation of an average 2d pooling layer
+## Backpropagation d'une couche d'average 2d pooling layer
 
-<img src="2d_pooling_layer.png" width="300">
+<img src="2d_pooling_layer.png" width="300"> 
 
+Relation entre les différentes variables:  
 $\forall i,j: \space b_{i j} = \dfrac{a_{2i \space 2j} + a_{2i+1 \space 2j} + a_{2i \space 2j+1} + a_{2i+1 \space 2j+1}}{4}$
 
-> Derivatives:  
+> Dérivées:  
 $\forall i,j: \space \dfrac{\partial E}{\partial a_{i \space j}} = \dfrac{1}{4} \dfrac{\partial E}{\partial b_{k \space l}} $  
-where $k = \Big\lfloor \dfrac{i}{2} \Big\rfloor$ and $l = \Big\lfloor \dfrac{j}{2} \Big\rfloor$
+où $k = \Big\lfloor \dfrac{i}{2} \Big\rfloor$ et $l = \Big\lfloor \dfrac{j}{2} \Big\rfloor$
+---
+---
+
+## Backpropagation d'une couche convolutive
+
+<img src="convolution_layer.png" width="300">
+
+Les matrices rouges représente les couches n  et n+1.  
+La matrice orange représente .  
+La matrice verte représente les biais de la couche n+1.  
+$\forall i,j: c_{i \space j} = b_{i \space j} + \sum\limits_{0 \leqslant k, l \leqslant 1} \space k_{k \space l} c_{i+k, \space j+l}$  
+$ $  
+
+> Dérivées:  
+$\dfrac{\partial E}{\partial b_{i,j}} = \dfrac{\partial E}{\partial c_{i, j}}$  
+$\dfrac{\partial E}{\partial k_{i,j}} = \sum\limits_{p=0}^{2} \sum\limits_{l=0}^{2} \Big( \dfrac{\partial E}{\partial c_{k \space l}} a_{i+p, j+l}\Big)$  
+$\dfrac{\partial E}{\partial a_{i,j}} = \sum\limits_{k=max(0, k\_size-1)}^{min(k\_size, dim\_input-j)} \sum\limits_{l=max(0, k\ _size-1)}^{min(k\_size, dim\_input-k)} \dfrac{}{}$